Skip to content

Особенности движения шаров при плоском ударе и накате

А.Сорокин

Март, 2014

В жизни, как в грамматике: исключений больше, чем правил.

Реми де Гурмон

Всем, кому довелось постигать азы бильярдной игры – и неважно, был ли это Пул, Снукер, Карамболь или Русский Бильярд, – наверняка хорошо известны два основных правила, описывающих движение шаров после их соударения. Это так называемые правила 90 и 30 градусов.

В этой работе предпринята попытка с помощью высокоскоростной видеосъемки продемонстрировать действие этих правил применительно к Русскому Бильярду.

 

ПРАВИЛО 30 ГРАДУСОВ

Принцип действия правила 30 градусов очень наглядно показан в обучающем видео Дэвида Элсиэтора (доктор Дэйв) http://www.youtube.com/watch?v=wZIX4WLd_JQ, которое в настоящее время переведено на русский язык.

Следует отметить, что данное правило справедливо исключительно для битка, катящегося по столу без проскальзывания. Суть его состоит в том, что угол отскока битка (т.е. угол между начальным и финальным направлением его движения) не зависит от скорости битка, его размера и массы, величины трения между шаром и сукном, а определяется только величиной резки (т.е. расстоянием между центрами битка и прицельного шара в момент их касания, если смотреть на них вдоль линии удара).

Для широкого диапазона значений доли резки (1/3 – 3/4) угол отскока битка, согласно результатам работ д-ра Дэйва, близок к 30 градусам. При этом максимальное значение угла отскока битка (33,7 градуса) достигается при резке, чуть большей чем в полшара (0,53), т.е. когда расстояние между центрами прицельного шара и битка (если смотреть на них вдоль линии удара) в момент их касания равно половине диаметра шара.

Теоретическое обоснование этого правила можно найти, например, в работах д-ра Дэйва, которые не так давно были переведены на русский язык. http://lastball.narod.ru/tpa4/tpa4.html http://lastball.narod.ru/tp33/tp33.html

Применительно к Русскому Бильярду правило 30 градусов имеет особенное значение. Связано это с легальностью сыгрывания битка, к тому же в некоторых разновидностях современного Русского Бильярда сыгрывание битка является основным тактическим компонентом игры, а удары в полшара с варьированием силы удара являются базовым приемом.

Не так давно на сайте Лиги Любителей Бильярда появился “Тренажер позиций золотых зон”, разработанный Анатолием Калюжным http://www.llb.su/node/951852. Этот тренажер представляет собой трафарет, который, по словам автора, “позволяет с высокой точностью установить эталонные позиции для сыгрывания битка через золотые зоны”. При создании тренажера автор использовал собственные расчеты, описывающие движения битка после соударения с прицельным шаром. Результаты этих расчетов для одного частного случая – сыгрывание битка накатом – были приведены в виде графика, который, по утверждению автора, является “правильным” в отличие от аналогичного графика http://lastball.narod.ru/tp33/tp33_05.jpg, приведенного в работах д-ра Дэйва

Стоит отметить, что здесь Анатолием Калюжным применено нестандартное обозначение величины резки. Обычно для лобового соударения шаров принято считать долю резки равной 1, а для максимально “тонкого” касания шаров – равной 0.

Для проверки заявленной “правильности” с помощью скоростной камеры были проведены измерения углов отражения битка в зависимости от величины резки прицельного шара. Удары по шару наносились с помощью специального станка http://dbkcues.ru/articles/cuetestingunit-2/. Сила удара соответствовала скорости битка, равной 2,5 м/с. Изменение величины резки производилось путем перемещения в кондукторе прицельного шара, при этом биток с помощью призмы устанавливался в одно и то же фиксированное место.

Скоростная камера крепилась на кран-балку и располагалась строго вертикально над бильярдным столом. Скорость съемки составляла 3200 кадров в секунду. Из кадров отснятого скоростного видео определялся конечный угол в траектории движения битка для каждого из 68 вариантов соударения с прицельным шаром. Результаты измерений представлены в виде графика, на котором для сравнения также нанесены результаты расчетов Анатолия Калюжного (синяя пунктирная линия) и д-ра Дэйва (красная линия).

Как видно, экспериментальные данные с определенной точностью повторяют результаты д-ра Дэйва. Для резки 3/4 (там, где наблюдается наибольшее различие между результатами д-ра Дэйва и А. Калюжного) из соответствующего скоростного видео были восстановлены траектории битка и прицельного шара http://www.youtube.com/watch?v=JZlGw3l01UU.

Для этой толщины резки измеренный угол в траектории битка составил 29,1 градусов. В расчетах д-ра Дэйва этот угол составляет примерно 28 градусов, а вот у Анатолия Калюжного он должен быть больше 34 градусов, что не соответствует действительности.

Таким образом, уравнения, используемые д-ром Дэйвом, достаточно точно описывают реальное движение битка, даже несмотря на то, что получены они в предположении абсолютно упругого соударения шаров и отсутствия трения между ними. Справедливости ради нужно сказать, что более точные расчеты с учетом коэффициентов трения и восстановления не приводят к существенным изменениям угла отскока битка. Так, в работе “The effects of ball inelasticity and friction on the 30° rule” http://billiards.colostate.edu/technical_proofs/new/TP_A-6.pdf д-р Дэйв показал, что для резки в полшара учет коэффициентов трения и восстановления приводит к увеличению этого угла всего лишь на 0,3 градуса.

ПРАВИЛО 90 ГРАДУСОВ

Принцип действия правила 90 градусов, так же как и предыдущего правила, можно найти в обучающем видео д-ра Дэйва. http://www.youtube.com/watch?v=DU5UkMFPDrA

Суть этого правила состоит в том, что при плоском ударе (т.е. когда биток до соударения с прицельным шаром скользит по сукну без какого-либо вращения) независимо от величины резки биток и прицельный шар разойдутся под углом 90 градусов. При этом прицельный шар будет двигаться вдоль линии, соединяющей центры шаров в момент их касания, а биток – вдоль касательной линии.

В отличие от предыдущего правила, вывод правила 90 градусов не составляет большой трудности, достаточно только в момент соударения шаров разложить импульс битка на нормальную и трансверсальную составляющие или воспользоваться законами сохранения импульса и энергии так же, как это было сделано в работе д-ра Дэйва. http://lastball.narod.ru/tp31/tp31.html

Стоит отметить, что вывод правила 90 градусов основан на двух существенных допущениях: трение между шарами равно нулю и столкновение шаров – абсолютно упругое. Как видно из следующего видео, в реальности трение между шарами присутствует.

http://www.youtube.com/watch?v=ASpXJ7exB2o http://www.youtube.com/watch?v=VJfLbfjfG4I

То же касается и предположения об абсолютной упругости соударения.

http://dbkcues.ru/articles/collision/

http://dbkcues.ru/articles-2/collision-of-billiard-balls/?lang=en

Как будет показано ниже, и трение и отсутствие абсолютной упругости в соударении шаров при определенных условиях приводят к существенному нарушению правила 90 градусов.

 

ВЛИЯНИЕ ТРЕНИЯ МЕЖДУ ШАРАМИ НА ДВИЖЕНИЕ ПРИЦЕЛЬНОГО ШАРА

Наверное, многим и не раз приходилось сталкиваться с ситуацией, когда при желании срезать на тихом ударе простой шар, стоящий около створа лузы, тот “не дорезается” и, отскочив от губки лузы, становится под партию сопернику. Кроме собственной “криворукости”, этому досадному промаху есть вполне рациональное объяснение. В англоязычной литературе это явление называется Throw, а в Русском Бильярде стараниями Виталия Архипова прижилась аббревиатура ЭОПШ (эффект отброса прицельного шара). Природа этого эффекта состоит в том, что в момент соударения битка и прицельного шара между ними действует сила трения, которая приводит к тому, что прицельный шар после соударения с битком двигается не вдоль линии, соединяющей центры шаров, а идет чуть уже, то есть “не дорезается”. Влияние силы трения на движение прицельного шара проявляется не только при плоском ударе, но и при ударах с вращением битка. Причем боковое вращение битка в зависимости от направления может как увеличивать угол отброса, так и компенсировать его. Все это достаточно подробно описано в статье Леонида Бальцева.

http://billiard.net.ua/magazine/index.php?id=972

Однако в этой статье есть одна существенная неточность, заключающаяся в следующем предположении: “По законам физики сила трения практически не зависит от относительной скорости движения трущихся поверхностей. Это значит, что угол отброса не зависит от скорости”.

Действительно, в курсе общей физики читателю прививается мысль о том, что сухое трение скольжения не зависит от скорости проскальзывания трущихся тел. Однако, на самом деле, есть огромное количество материалов и способов их обработки, при которых коэффициент трения может как увеличиваться, так и уменьшаться в зависимости от скорости. Одним из примеров уменьшения коэффициента трения могут служить экспериментальные данные для тормозных колодок железнодорожных составов. http://www.pomogala.ru/tormoza/tormoza_2.html

Для бильярдных шаров коэффициент трения ведет себя подобным образом. Д-р Дэйв в своей статье “The effects of cut angle, speed, and spin on object ball throw” ссылается на результаты эксперимента Вейленда Марлоу (Wayland Marlow) по измерению зависимости трения от скорости. http://billiards.colostate.edu/technical_proofs/new/TP_A-14.pdf

Марлоу определил поведение коэффициента трения всего лишь по трем экспериментальным точкам, что вообще-то достаточно некорректно. Для бельгийских шаров Аramith, применяемых в Русском Бильярде, определенный аналогичным образом коэффициент трения получился чуть больше на всех реализованных скоростях. Возможно, это связано с использованием другого состава при изготовлении шаров, а может – просто с износом поверхности тестируемых шаров. Тем не менее, какими бы ни были абсолютные значения коэффициента трения, их очевидная зависимость от скорости обязательно приведет к изменению угла отброса прицельного шара. Причем здесь важна не сама поступательная скорость битка, а относительная скорость проскальзывания точек соприкосновения шаров (эта скорость складывается из касательной (трансверсальной) компоненты поступательной скорости битка и линейной скорости его вращения). Другими словами, угол отброса битка будет зависеть как от силы удара, величины резки, так и от наличия вращения (в том числе наката и оттяжки).

Ниже приведена восстановленная из скоростного видео траектория движения прицельного шара при плоском ударе. Поступательная скорость битка 2,56 м/с, угол резки 23,5 градуса.

Нетрудно заметить, что в результате действия силы трения прицельный шар “не дорезается” на угол 4 градуса. При таком угле отброса прицельный шар на дистанции один метр отклонится от линии, соединяющей центры шаров в момент их касания, на величину, большую диаметра шара.

При аналогичном ударе накатом, где скорость битка 2,61 м/с, угол, на который “не дорезается” прицельный шар, уже на порядок меньше.

Связано это, как раз, с увеличением скорости проскальзывания соприкасающихся поверхностей шаров (и как следствие – уменьшения трения) за счет наличия угловой скорости.

Если проследить зависимость угла отброса прицельного шара от величины резки, то для плоского удара и для наката получится следующая картина:

Красная пунктирная линия соответствует расчету плоского удара, выполненному согласно уравнениям д-ра Дэйва http://billiards.colostate.edu/bd_articles/2006/sept06.pdf, для коэффициентов трения, взятых из эксперимента Марлоу. Верхняя черная пунктирная линия – это тот же расчет, но уже с коэффициентами трения для шаров, используемых в Русском Бильярде. Черные кружки – это экспериментально измеренные углы отброса прицельного шара при плоском ударе. Нижняя черная пунктирная линия и треугольники под ней соответствуют расчету и эксперименту при ударе накатом.

Если теперь отдельно посмотреть на данные измерений углов отклонения прицельного шара при плоском ударе, то можно увидеть что график имеет характерный излом с явно выраженным максимальным углом отклонения прицельного шара, который при скорости битка 2,5 м/с составляет примерно 4 градуса. Аналогичные данные ранее получили д-р Дэйв и Боб Джеветт (Bob Jewett). http://i.pixs.ru/storage/4/9/1/ThrowDeyvp_7444256_9228491.jpg http://www.sfbilliards.com/Misc/throw.gif

Наличие этого излома на графике определяется изменением характера трения между шарами.

Если угол резки достаточно велик (тонкая резка), то в точке контакта в течение всего времени соударения происходит проскальзывание битка относительно прицельного шара. Это позволяет определить тангенс угла отброса прицельного шара как отношение касательной и нормальной компоненты силы, действующей на прицельный шар, равный в конечном итоге коэффициенту трения Ft / Fn = k ∙ Fn / Fn = k. Поскольку коэффициент трения зависит от относительной скорости шаров в точке их контакта, которая, в свою очередь, определяется величиной угла резки, то угол отброса прицельного шара также будет зависеть от угла резки, что и наблюдается на графике при углах резки больше 25 градусов.

Если угол резки мал (толстая резка), то в течение соударения сила трения успевает выравнять мгновенные скорости битка и прицельного шара в точке их контакта (Vбитка – R ∙ ωбитка = Vпр.ш + R ∙ ωпр.ш); это условие в конечном итоге и позволяет определить тангенс угла отброса прицельного шара, который будет равен 1/7 ∙ tgϕ, где ϕ – угол резки.

Таким образом, ЭОПШ, вызванный наличием трения между шарами, может при определенных условиях достаточно сильно (как минимум до 4 градусов) уменьшить угол отскока прицельного шара. Это обстоятельство приведет к тому, что биток и прицельный шар разойдутся под углом меньше 90 градусов. Ослабления ЭОПШ при достаточно большой резке можно добиться, увеличив силу удара или придав битку вращение вокруг горизонтальной оси.

 

ВЛИЯНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВОССТАНОВЛЕНИЯ НА ДВИЖЕНИЕ БИТКА

Эффект отброса прицельного шара, как было показано выше, основан на действии силы трения. За время взаимодействия шаров сила трения создает небольшое приращение импульса dP = Fтр ∙ dT, которое и определяет отклонение прицельного шара. Очевидно, что на биток со стороны прицельного шара действует точно такая же по величине сила трения, но, в отличие от прицельного шара, для битка приращение импульса совпадает с направлением его отскока. То есть для битка сила трения может только изменить величину скорости отскока, но не его направление/траекторию.

Однако если вернуться к картинке, демонстрирующей ЭОПШ для плоского удара, и определить угол между направлением отскока битка и линией, соединяющей центры шаров в момент их касания, то можно увидеть, что он составляет не 90, а только 84,8 градуса. Другими словами, произошло уменьшение угла отскока битка на угол 5,2 градуса.

Как оказалось, на более толстых резках уменьшение угла отскока битка выражено в еще большей мере.

Стоит отметить, что на самых толстых резках биток после соударения с прицельным шаром проходит расстояние порядка одного сантиметра, что вызывает определенные сложности с точностью определения угла отскока битка.

Чтобы увидеть уменьшение угла отскока битка, не обязательно иметь скоростную камеру – достаточно провести простой эксперимент, для которого потребуются три шара и стол с разметкой. Два шара “зайцы” устанавливаются на линию, параллельную короткому борту, при этом один из шаров располагается на центральной линии, параллельной длинному борту. Битком на клапштосе наносим удар по шару, стоящему на пересечении двух линий, и наблюдаем за его движением относительно центральной линии. Чем толще будет резка на “зайцах”, тем сильнее будет выражен эффект.

Поскольку в русскоязычной литературе это явление ранее не описывалось, то для себя я назвал это эффектом заужения (Narrow) отскока битка (ЭЗОБ). В то же время в зарубежной литературе, например в статье Боба Джеветта “Pythagoras & Pool Perpendiculars”, Billiards Digest http://www.sfbilliards.com/articles/1995.pdf , есть не только упоминание этого явления, но также имеется его достаточно подробное объяснение. Интересно замечание, высказанное автором этой работы относительно шаров, сделанных из слоновой кости, для которых эффект заужения отскока битка (Narrow) был более выражен, чем для современных шаров.

Причина возникновения этого явления заключается в том, что соударение битка и прицельного шара не является абсолютно упругим. Как известно, свойство упругости описывается коэффициентом восстановления (для абсолютно упругого удара коэффициент восстановления равен 1, а для абсолютно неупругого равен 0). В случае, если коэффициент восстановления меньше единицы, возникает ситуация, при которой биток после соударения с прицельным шаром сохраняет часть своего движения вдоль линии, соединяющей центры шаров. Это сохранившееся движение приводит к тому, что траектория битка отклоняется от направления касательной, т.е. происходит то самое заужение угла отскока битка.

Более подробно об ЭЗОБ (Narrow) можно прочитать в работе д-ра Дэйва http://billiards.colostate.edu/technical_proofs/new/TP_A-5.pdf, в которой с учетом коэффициентов трения и восстановления получены уравнения для вычисления углов отскока как для битка, так и для прицельного шара (NB!: в уравнении 10 перед синусом пропущен коэффициент 1/7, при этом в работе http://billiards.colostate.edu/technical_proofs/new/TP_A-14.pdf в аналогичном уравнении 14 данный коэффициент присутствует).

Ниже приведено сравнение экспериментально измеренных углов заужения отскока битка для различных величин резки и численного расчета (красная пунктирная линия), выполненного с помощью исправленных уравнений д-ра Дэйва.

Здесь угол заужения отскока битка отсчитывался между касательной линией, проведенной в точке соударения шаров, и фактическим направлением отскока битка. Скорость битка в момент удара составляла 2,5 м/с. Для выполнения расчета использовались значения коэффициента восстановления, найденного из анализа скоростного видео для различных углов резки. Как видно из ниже приведенного графика, коэффициент восстановления остается практически постоянным (0,92) на всем диапазоне углов резки и только при очень тонкой резке наблюдается его незначительное уменьшение. По всей видимости, это уменьшение связано с потерей энергии, вызванной взаимным раскручиванием битка и прицельного шара.

Наличие эффекта заужения отскока битка (ЭЗОБ) приводит к тому, что сам угол отскока битка имеет существенно нелинейную зависимость от угла резки. Как видно из следующего графика, угол отскока битка при плоском ударе имеет явно выраженный максимум равный 69 градусам, достигаемый при доле резки 5/6.

Подводя итог, можно сказать, что правило 90 градусов фактически не выполняется ни для одного угла резки. Как было показано выше, это связано с проявлением двух эффектов: эффекта отброса прицельного шара (Throw) и эффекта заужения отскока битка (Narrow). Первый из них определяется наличием трения между прицельным шаром и битком, второй – неабсолютной упругостью шаров.

Особенно сильно нарушение правила 90 градусов проявляется на малых углах резки, где величина угла разлета прицельного шара и битка падает вплоть до нулевых значений.

1 комментарий
  1. Добрый день.
    Чтобы уменьшить эопш, вы рекомендуете бить сильно и с накатом/оттяжкой. Я неоднократно читал, что на сильном ударе шар достаточно большое расстояние идёт скольжением и лишь потом переходит к качению. Как совместить сильный удар и накат?

Оставить комментарий

Заметка: XHTML допускается. Ваш почтовый адрес никогда не будет опубликован.

Следить за этим комментарием с помощью RSS